" Osoinach Construction"

John K. Osoinach は，1998年，テキサス大学での学位論文 "Manifolds obtained by Dehn surgery on infinitely many distinct knots in S³" において，その題目どおり，0-surgery した結果がすべて同じ 3次元多様体であるような無限個のhyperbolic knot を構成した。　これはKirby の問題集のProblem 3.6(D) に対する解答をあたえるものである。なお，Osoinach は研究者としての道を選ばず，また論文の出版予定はないそうだ。

Problem 3.6(D) [in Kirby Problem List] Is there a homology 3-sphere or any 3-manifold which can be obtained by n surgery on an infinite number of distinct knots?

Remark. Osoinach の論文には書かれていないが，Osoinach の構成法は，任意の整数スロープに拡張できる。一方，Cooper-Lackenby によると，分母が23以上であるような非整数スロープの場合は，高々有限個のknot しか，同じ3次元多様体を与えない。John Luekce は，無限個のknot のr-surgery として表現できる3次元多様体が存在するのは，r　が整数のときに限ると予想している。

Osoinach は２つの興味深いケースを考察している。

Theorem　1(hyperbolic case) There exists an infinite family {K_m} of distinct hyperbolic knots in S³ such that longitudinal surgery on each of the knots yields the same hyperbolic manifold.

Theorem　2(toroidal case) There exists an infinite family {K_m} of distinct hyperbolic knots in S³ such that longitudinal surgery on each of the knots yields the same toroidal manifold.

A をS³内のembedded annulus とする。

A の２つの境界成分を，Aの内部にほんの少しだけ押し込む。それらをc₁，c₂ とよぼう。

c₁，c₂ はA上でannulus A_cをはっている。

さて，元のAの２つの境界成分にバンド和を行い，生じるknot をKとよぶ。ただし，そのバンドはA-A_cとは交わらないものとする。A_cとは交わらないと，意味がない。（異なるknot を構成できない）

たとえば，Aがunknotted annulus の場合，バンド和で得られるknot Kは，もちろんribbon knotである。

以下，話を簡単にするために，Aがunknotted annulus であると仮定する。ここで，c₁，c₂ において，それぞれ1/n-surgery， -1/n-surgery を行う。

この2つのsurgery は，annulus A_cに沿ったtwist で実現されるので，surgery の結果は再び3-sphere に戻る。こうして，knot K_n が得られる。

重要な事実は，K，c₁，c₂ からなる3成分link がonce-punctured annulus　Rをはっていることである。

それは，　cl(A-A_c) とバンドを合わせて得られる。

Rの境界スロープを調べると，c₁，c₂ では，A_cのそれと一致し，Kにおいてはちょうど0になっている。

従って，K上で0-surgery を行うと，Rがannulus Qに拡張し，K(0) 内部でQに沿ってtwist を行ってもmanifoldは変わらないことから， K_n (0)=K(0) であることが理解できる。

特に，Kがhyperbolic knot 8₈であるようにバンド和ができる。（そのknot がribbon というだけのこと）

さらに，その0-surgery はhyperbolic manifold を与えることが知られている。

Theorem 1 の証明として残っているのは，族{K_n}が無限個のhyperbolic knot を与えていることを示すだけである。

まず，K，c₁，c₂ からなる3成分link がhyperbolic であることをタングル分解を使って示す。（ずいぶん苦労している）

Gromov-Thurston の2π-theorem を使って，n が十分に大きければ，K_nがhyperbolic であることがわかる。

最後に，n　が十分に大きければ，K_nのexteriorのvolume が単調増加する事実を用いて，無限個のhyperbolic knotが実際に得られていることを結論する。

Theorem 2 の証明では，figure-eight knot 2つのconnected sum Kから出発する。

figure-eight knot はamphicheiral だから，Kはribbon である。よって，先の構成が適用できて，族{K_n}が得られる。

K(0) がtoroidal であることをみるのはやさしい。composite knot の0-surgeryでは，一般にその結果は各成分のexteriorを張り合わせたものになるので，必ずseparating essential torus を含んでいる。また，irreducible であることもやさしい。

無限個のhyperbolic knotが得られることは，Theorem 1と同じ議論で示されている。

Theorem 2 で構成された例は，大変おもしろい性質をもっている。

1. K(0) (=K_n(0)) contains a unique essential torus T.
2. There is no bound on the number of times that the cores of the attached solid tori from {K_n} puncture T.

最初の事実の証明は難しくないが，2つめは確かに読みにくい。decomposing sphere からくるplanar surfaceとpunctured torus との交差を考察し，Rieck の評価式を用いている。