Topology Seminar (September 8)

"Small surfaces and Dehn filling" by Cameron Gordon

　

M : compact orientable 3-manifold

small surface とは，Euler 標数がnonnegative な曲面をいう。すなわち，S2,D2,A2,T2を指す。

M : hyperbolic　if M0=M-(torus boundary component) has a complete hyperbolic structure with ∂M0 totally geodesic boundary

Theorem(Thurston) M は3-ball ではなく，∂M　はnonemptyとする。このとき，M がhyperbolic であるための必要十分条件は，M　がessential small surface を含まないことである。

M : closed とする。　

Geometrization Conjecture が主張することは， M は，hyperbolic, reducible, toroidal, 3-sphere, lens space, small Seifert fiber space のいずれかになるということである。

さて，M はtorus boundary component T0をもつとする。

T0 上のessential simple closed curve αに対して，α-Dehn filling on M をM(α) で表す。すなわち，T0に沿ってsolid torus をはりつけるのだが，meridian がαに張り付くようにするものである。

M : hyperbolic

exceptional slope の集合　E(M)={α: T0上のslope | M(α) がhyperbolic でない}

このとき，Thurston の結果により，E(M)は有限集合である。

M(α)がhyperbolic でないということをいいかえると，次のいずれかである：

  1. M(α) contains essential S2,D2,A2or T2
  2. M(α) contains Heegaard S2 or T2
  3. small SFS
  4. counterexample to Geometrization Conjecture

Case 1 のそれぞれを，type S, D, A, T で表し，Case 2のそれぞれを，type SH, THと表す。

T0上の２つのslope　α，βに対して，Δ（α，β）でminimal geometric intersection numberを表す。

Δ(X1,X2)=max {Δ（α1,α2）| there is a hyperbolic manifold M and slopes α1,α2 such that M(αi) is of type Xi for i=1,2}

Δ(X1,X2) の値はほとんどわかっている。

　 S D A T SH TH
S 1 0 2 3 ? 1
D 　 1 2 2 - -
A 　 　 5 5 - -
T 　 　 　 8 2 ?
SH 　 　 　 　 0 1
TH 　 　 　 　 　 1

Δ(S,SH)はcabling conjecture に対応する。（1以下だとわかっている）

Δ(T,TH)は3だと予想する。（5以下だとわかっている）　

　

Examples (1)　M = figure eight knot exteriorとする。M(4), M(-4)はessential torus を含む。Δ(4,-4)=8 なので，Δ（T,T）は8以上である。

(2) M = (-2,3,7) pretzel knot exterior　とする。M(1/0)=S3,M(37/2)はessential torus を含む。従って，Δ(T,SH)は2以上である。

(3) M = (-2,3,8) pretzel link exterior　とする。unknotted component でDehn filling を行う。M(2), M(11/3) はともにessential torus, annulus を含む。Δ(2,11/3)=5 だから，Δ(A,A),Δ(A,T)は5以上である。

(4) M は図の3-component link exterior とする。filling は太線の成分で行う。M(0), M(-3/2) はともにessential torus, annulus を含む。Δ(0,-3/2)=3。（M の境界成分数が3の例）

Theorem Δ(X1,X2) (in the cases where it is known) is realized by infinitely many M, except in cases (A,A),(A,T),(T,T).
(A,A), (A,T) : Δ=5 を実現するものは1つだけ。Δ=4 を実現するものは2つだけ。Δ=3 を実現するものは無限に存在する。
(T,T) : Δ=8 を実現するものは2つ。Δ=7,6 を実現するものはそれぞれ1つだけ。Δ=5 を実現するものは無限に存在する。

次に，M の境界がk 個のtorus 成分からなる場合を考える。

Δk(X1,X2)=max {Δ（α1,α2）| there is a hyperbolic manifold M, whose boundary consists of k tori, and slopes α1,α2 such that M(αi) is of type Xi for i=1,2} と定める。

一般に，Δk(X1,X2)はΔk-1(X1,X2) 以下になることが示せる。

Δ2(X1,X2)の表

　 S D A T
S 1 0 2 2-3
D 　 1 2 2
A 　 　 5 5
T 　 　 　 5

Δ3(X1,X2)の表

　 S D A T
S 0 0 1 1
D 　 0 1 1
A 　 　 3 3
T 　 　 　 3-5

Δk(X1,X2)の表(k は4以上)

　 S D A T
S 0 0 1 1
D 　 0 1 1
A 　 　 2-3 2-3
T 　 　 　 2-5

Theorem 　4 以上の任意のkに対して，境界がk 個のtorus からなるhyperbolic manifold M で，M(α1),M(α2)はともにannular かつtoroidal であり，Δ(α1,α2)=2 なるものが存在する。

セミナーではこの例の構成を示されて終わった。まず， S2xS1内に2-component link を実際に書き，それがhyperbolic であることと，M(0),M(2) がessential annulus, torus を含むことを示す。あとは，局所的にalternating になるような形で成分を追加して，Menasco の結果からhyperbolic 性を保つそうだ。