計算数理A演習第9回

今日の演習

  • フーリエ級数

フーリエ級数

周期関数u(t)が「(第一種不連続点のみをもつ)区分的に連続な周期関数」であるとき、フーリエ級数は元の関数u(t)に各点収束する。
よって、u(t)2\pi周期の関数とすると、

    \[ u(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nt + b_n \sin nt )\]

    \[a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) dt, a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \cos nt dt, b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \sin nt dt \]

がなりたつ。

無限級数をとったとき、フーリエ級数が元の関数に収束することは数学的に証明されている。
では、無限に足し合わせるのではなくて、有限個だけ足し合わせた場合は、どのような曲線が得られるだろうか?
今回の演習では、足し合わせる項の数を増やして行ったときに、どのようにもとの関数u(t)に収束して行くのかを
シミュレーションを通して理解して行く事を目的とする。

また、u(t)が不連続面を含む場合において、「滑らかな三角関数だけを足し合わせて、不連続な関数を近似する」という一見無茶なことをどのように実現しているのかを確認してもらいたい。


課題1(ジグザグ波)

u(t) = |t| on  [-\pi, \pi]

を周期2\piの関数として拡張したものを考える。
この関数のフーリエ級数展開は、

    \[ u(t) = \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n:odd} \frac{1}{n^2} \cos nt \]

となる。ただし、n:oddとはnが奇数であること(つまりn=1, 3, 5, \cdotsについて和をとること)を表している。
ここで、足し合わせるnの最大値をNとして、

    \[ u_N(t) = \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n:odd}^N \frac{1}{n^2} \cos nt \]

とおき、N=1, 3, 5, \cdotsの場合における、u_N(t)のグラフを図示せよ。
その際、u(t)のグラフも重ねて描画すること。
ただし、描画するtの範囲は-2\piから2\piとせよ。
Nが大きいときについて:\cos Ntがそこそこまともに描画できる程度に、tの刻み幅を小さくすることを意識してください)


課題2(ジグザグ波の続き)

    \[ d(t, N) = |u_N(t) - u(t) | \]


とする.このとき,-\pi \le t \le \piにおけるd(t, N)の最大値をD(N)とおき,
D(N)を画面に表示できるように,課題1のプログラムを改良せよ.
Nを動かして,D(N)0に収束するかどうか検証せよ.

dは元の関数とu_N(t)とののズレを表している.Dはもっともずれの大きい場所のdの値に相当する.)


課題3 ギブス現象

次の式(矩形波)

    \[ u(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & (0 < t < \pi) \\ -1 & (-\pi < t < 0) \end{array} \right. \]

を周期2\piの関数として拡張したものを考え、不連続面(t=0)に注目する。

    \[ u_N(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n:odd}^N \frac{1}{n} \sin nt \]

として、Nの値を変化させた場合において、不連続面近くのグラフを描画せよ。
ただし、描画する範囲を、-0.5<t<0.5として、
キーボードからNの入力を促し、u_N(t)u(t)を重ねて描画せよ。


課題4

課題3の式について,不連続点以外のtについて,u_N(t)u(t)に収束するかどうかを確認するため,

    \[ d(t, N) = |u_N(t) - u(t)| \]

とし,d(0.4, N)N=1, \cdots ,100でどのように変化するかグラフで示せ。