自己相関関数

平均が $0$ の定常時系列データ $\{x(t)\vert t=0,\ldots,N-1\}$ が与えられた場 合、自己相関関数は、

$$r(l) = \frac{1}{N} \sum_{t=0}^{N-l-1} x(t+l) x(t)$$ (5)

で定義される。 自己相関関数のフーリエ変換は、ピリオドグラム(パワースペクトル密度関数) と呼ばれ、

$$p(f) = \sum_{l=-(N-1)}^{N-1} \exp(-i 2 \pi f l) r(l)$$ (6)

のように定義され、時系列信号のフーリエ変換 $X(f)$ と

$$p(f) = \frac{1}{N}\vert X(f)\vert^2$$ (7)

のような関係が成り立つ。