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今、多変量の計測値を
とし、各データから平
均ベクトル
を引いたベクトルを
で表す
とす。このとき、主成分分析の特徴ベクトル(主成分スコア)
は、
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$y$} = U^T \tilde{\mbox{\boldmath$x$}} = U^T(\mbox{\boldmath$x$} - \bar{\mbox{\boldmath$x$}})
\end{displaymath}](img164.png) |
(30) |
のように直交行列
で定義される直交変換により計算される。したがって、
の
の各列を正規直交基底とする部分空間への射影は、
![\begin{displaymath}
\hat{\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}}_i = U U^T \tilde{\mbox{\boldmath$x$}}_i
\end{displaymath}](img166.png) |
(31) |
となり、元の計測値ベクトル
の近似となる。主成分スコ
ア
によって、平均2乗誤差の意味で元の計測値の情報(分散)を最大
限抽出するような直交行列
を求めるには、元の
と
その近似
との平均2乗誤差
![\begin{displaymath}
\varepsilon^2(U) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \vert\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}_i - \hat{\tilde{\mbox{\boldmath$x$}}}_i\vert^2
\end{displaymath}](img169.png) |
(32) |
を最小とする正規直交基底
を求めれば良い。
最適な直交行列
は、
の分散共分散行列
の固有値問題
![\begin{displaymath}
\Sigma_X U = U \Lambda , \hspace*{3mm} (U^TU = I)
\end{displaymath}](img173.png) |
(33) |
の解として求まる[51,13]。ただし、
は固有
値行列である。また、
としては、固有値の大きさの順番に対応する固有ベ
クトルを
個まで取るものとする。
この時、主成分スコア
の平均および分散共分散行列は、それぞれ、
となり、変量間の相関が無くなることがわかる。
Subsections
平成14年7月19日