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今、
個の変量を含む計測ベクトル
と
個の変量を含む計測ベクトル
があると
する。正準相関分析では、学習用のデータ集合
に対して、線形変換
で写された2つの新変量群間の相関行列のトレースの絶対値が最大となるよう
な係数行列
および
を求める。最適な係数行列は固有値問題
![\begin{displaymath}
\Sigma_{XY} \Sigma_Y^{-1} \Sigma_{YX} A = \Sigma_X A \Lambda^2 \ \ \ (A^T \Sigma_X A = I_L)
\end{displaymath}](img299.png) |
(64) |
あるいは、
![\begin{displaymath}
\Sigma_{YX} \Sigma_X^{-1} \Sigma_{XY} B = \Sigma_Y B \Lambda^2 \ \ \ (B^T \Sigma_Y B = I_L)
\end{displaymath}](img300.png) |
(65) |
の解として求まる。ただし、
は、固有値を対角要素とする対角行
列であり、
である。このとき、係数行列
と
の間には、
![\begin{displaymath}
\Sigma_{XY} B = \Sigma_X A \Lambda, \hspace*{10mm} \Sigma_{YX} A = \Sigma_Y B \Lambda
\end{displaymath}](img308.png) |
(67) |
という関係が成り立つ。また、
は、正準主成分
および
の次元で、係数行列として固有値の大きいものから順に
個取
られる。
このとき、変量
および
の統計量は、
となる。したがって、新しい変量
から
へ、あるいは
から
への線形回帰式は、
![\begin{displaymath}
\tilde{\mbox{\boldmath$t$}} = \Lambda \mbox{\boldmath$s$}, ...
...0mm} \tilde{\mbox{\boldmath$s$}} = \Lambda \mbox{\boldmath$t$}
\end{displaymath}](img323.png) |
(69) |
で与えられる。
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平成14年7月19日