例示画入力時の変動の吸収

ここでは、画像を例示する際に生じる画像特徴ベクトルの変動も考慮してSF空間を構 成する方法を示す。

例示画をカメラで入力する場合、例示画の傾きや大きさ等の変動のため同一の画像を 再度入力しても同一の画像特徴ベクトルが得られるとは限らない。従って、前処理と して、こうした画像特徴ベクトルの変動を吸収することが必要となる。

この前処理は、同一の画像はなるべく近い特徴ベクトルとなようにすればよい。これ は、判別分析を用いて実現することができる。ここでは、GF空間からSF空間への写像 を画像特徴ベクトルの変動を吸収するための判別写像 $B$ とその判別写像によって 写された空間（安定化画像特徴空間 GF'）からSF空間への写像 $A$ との２段階の写 像 $C=BA$ によって構成する。

データベース中の画像のある部分集合 $G=\{g_i\vert i=1,\ldots,N\}$ の各画像を入力条 件を変えて $L$ 回入力したとする。画像 $g_i$ に対して得られた $L$ 個の画像特 徴ベクトルを $\{ x_{ij}\vert j=1,\ldots,L\}$ とする。

この時、入力条件の変動を吸収するための判別写像

$$\mbox{\boldmath$z$} = B^T (\mbox{\boldmath$x$} - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T)$$ (410)

は、固有値問題

$$\Sigma_b B = \Sigma_T B H$$ (411)

$$B^T \Sigma_T B = I$$

の解として求まる。ただし、

$$\Sigma_b = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (\mbox{\boldmath$x$}_i - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T) (\mbox{\boldmath$x$}_i - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T)^T$$ (412)

$$\Sigma_T = \frac{1}{NL} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^L (\mbox{\boldmath$x$}_{ij} ... ...x{\boldmath$x$}}_T ) (\mbox{\boldmath$x$}_{ij} - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T)^T$$

$$\mbox{\boldmath$x$}_i = \frac{1}{L} \sum_{j=1}^L \mbox{\boldmath$x$}_{ij}$$

$$\bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T = \frac{1}{NL} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^L \mbox{\boldmath$x$}_{ij}$$

である。一般に学習用画像集合 $G$ には、特徴ベクトルの次元 $M$ よりもはるかに 多くの画像が含まれている。その場合、$\Sigma_b$ , $\Sigma_T$ ともに正則行列と なり、 $\mbox{\boldmath$z$}$ の次元を $M$ 次元まで取るとすると、

$$B B^T = \Sigma_T^{-1}$$ (413)

という関係が成立する[128]。

次に、第２段階の写像をグループ分け $\{C_1,\ldots,C_K\}$ に基づいて構成するこ とを考えよう。これは、固有値問題

$$\Sigma_B A = \Sigma_W A \Lambda$$ (414)

$$A^T \Sigma_W A = I$$

の解として求まる。ただし、この場合には、

$$\Sigma_B = B^T \Sigma_B B$$ (415)

$$\Sigma_W = B^T \Sigma_W B$$

である。さらに、$\Sigma_b$, $\Sigma_T$ ともに正則なら、２段階の写像 $C=BA$ は、固有値問題を２度解く必要はなく、次の固有値問題

$$\Sigma_B C = \Sigma_W C \Lambda$$ (416)

$$C^T \Sigma_W C = I$$

を解くだけで求まることが示せる。

つまり、利用者の画像間の主観的類似度が学習用画像のグループ分けによって与えら れる場合には、利用者の主観をなるべく反映し、しかも、入力条件の違いによるパター ンの変動を吸収するようなGF空間からSF空間への写像は、単に、同一のパターンを入 力条件を変えて何度か読み込み、それらを学習用画像として判別分析を行うことによっ て構成できることになる。