付録 A.1. $S_\Omega^T$ の最大固有値と固有ベクトル

統計量 $s(\omega_i\vert\omega_j)$ に関する関係式

$$\sum_{i=1}^M s(\omega_i\vert\omega_j) = 1$$ (432)

から、

$$S_\Omega^T \mbox{\boldmath$1$}_M = \mbox{\boldmath$1$}_M$$ (433)

が常に成立する。これは、$1$ は $S_\Omega^T$ の固有値のひとつであり、対応する固 有ベクトルは $\mbox{\boldmath$1$}_M$ であることを意味する。

今、$\lambda$ を $S_\Omega^T$ のある固有値で、$\lambda$ に対応する固有ベクトル を $\mbox{\boldmath$x$}^T = (x_1,\ldots,x_M)$ とすると、固有方程式

$$\sum_{i=1}^M s(\omega_i\vert\omega_j) x_i = \lambda x_j \ \ \ (j=1,\ldots,M)$$ (434)

から、不等式

$$\vert\lambda\vert\vert x_j\vert \leq \sum_{i=1}^M s(\omega_i\vert\omega_j) \vert x_i\vert$$

$$\leq \sum_{i=1}^M s(\omega_i\vert\omega_j) \rho$$

$$= \rho$$ (435)

が成り立つことがわかる。ここで、 $\rho = \max_i \vert x_i\vert$ である。

この不等式から $\vert\lambda\vert \leq 1$ であり、$1$ は最大の固有値である。