Kittler らのしきい値選定法

Kittler らは、対象領域の濃淡値と背景の濃淡値がともに正規分布に従うという仮定 のもとで平均誤識別率に関する基準を最小とするようなしきい値選定法を提案した [70]。今、各画素をしきい値 $k$ によって２つのクラス $C_1$ と $C_2$ のどちらかに分類するものとする。また、条件付き分布 $f(g\vert C_j)$, $(j=1,2)$ が平均 $\bar{g}_j(k)$、分散 $\sigma_j^2(k)$ の正規分布に従うとする。このとき、 Bayes の公式と不等式 $p \ge 1 + \log(p)$ $(\ 0 \le p \le 1)$ から、 平均誤識別率は、

$$P_e = 1 - \sum_{g=1}^k f(C_1\vert g)p(g) - \sum_{g=k+1}^L f(C_2\vert g)p(g)$$

$$\le 1 - \sum_{g=1}^k [1+\log f(C_1\vert g)]p(g) - \sum_{g=k+1}^L [1+\log f(C_2\vert g)]p(g)$$

$$= \omega_1(k)\log(\frac{\sigma_1(k)}{\omega_1(k)}) + \omega_2(k)\log(\frac{\sigma_2(k)}{\omega_2(k)})$$

$$+ \frac{1}{2}(1+\log(2\pi)) + \sum_{g=1}^L p(g)\log(p(g)).$$ (162)

のように評価できる。ここで、定数項を無視すると、しきい値選択のための基準とし て

$$J(k) = \omega_1(k)\log(\frac{\sigma_1(k)}{\omega_1(k)}) + \omega_2(k)\log(\frac{\sigma_2(k)}{\omega_2(k)})$$ (163)

が得られる。

この基準は、平均条件付きエントロピー（Equivocation）

$$E = -\sum_{j=1,2} \sum_{g=1}^L f(C_j\vert g)\log(f(C_j\vert g)) p(g).$$ (164)

を最小化する基準と等価になる[137]。従って、Kittler らの基準は誤識別 率を最小とするしきい値を選定しているというよりはむしろ平均条件付きエントロピー を最小化するしきい値を求めているものといえる。実際、Equivocation は、誤識別 率の上限の推定値のひとつとして利用されている [128]。