大津のしきい値選定法

各画素が区間 $[1,L]$ の範囲の濃淡値 $g$ をもつような画像を考える。このとき、 画像の濃淡値の分布は、ヒストグラム $\{h(g)\vert g=1,\ldots,L\}$ で与えられる。こ こで、$h(g)$ はその画像に濃淡値 $g$ があらわれる頻度を表す。これを全画素数 $N=\sum_{g=1}^L h(g)$ で正規化して、正規化ヒストグラムを $\{p(g) = h(g)/N\}$ とする。

今、しきい値 $k$ によって各画素を２つのクラス $C_1$ と $C_2$ （対象領域と背 景、あるいはその逆）に分類することを考える。ここで、$C_1$ は濃淡値が $[1,\ldots,k]$ の範囲にある画素の集合であり、$C_2$ は濃淡値が $[k+1,\ldots,L]$ の範囲にある画素の集合である。このとき、しきい値 $k$ に依存 して各クラスの統計量は、

$$\omega_1(k) = \sum_{g=1}^k p(g), \hspace*{1.5cm} \omega_2(k) = \sum_{g=k+1}^L p(g)$$ (154)

$$\bar{g}_1(k) = \sum_{g=1}^k g p(g) / \omega_1(k), \hspace*{1.5cm} \bar{g}_2(k) = \sum_{g=k+1}^L g p(g) / \omega_2(k)$$ (155)

$$\sigma_1^2(k) = \sum_{g=1}^k (g-\bar{g}_1(k))^2 p(g) / \omega_1(k), \hspace*{1cm} \sigma_2^2(k) = \sum_{g=k+1}^L (g-\bar{g}_2(k))^2 p(g) / \omega_2(k).$$ (156)

となる。

一方、全平均および全分散は

$$\bar{g}_T = \sum_{g=1}^L g p(g) = \sum_{j=1,2} \omega_j(k)\bar{g}_j(k)$$ (157)

$$\sigma_T^2 = \sum_{g=1}^L (g-\bar{g}_T)^2 p(g) = \sigma_W^2(k) + \sigma_B^2(k)$$ (158)

となる。ここで、

$$\sigma_W^2(k) = \sum_{j=1,2} \omega_j(k) \sigma_j^2(k)$$ (159)

$$\sigma_B^2(k) = \sum_{j=1,2} \omega_j(k) (\bar{g}_j(k)-\bar{g}_T)^2$$ (160)

は、それぞれ、平均クラス内分散および平均クラス間分散である。

ヒストグラムからしきい値を選択する際のしきい値の良さの評価として、大津は判 別基準

$$\eta(k) = \sigma_B^2(k)/\sigma_T^2.$$ (161)

を用いた[126,127]。これを最大とする最適なしきい値 $k^*$ は、$k$ を $1$ から $L$ まで順番に調べて、$\eta(k)$ が最大となる $k$ を求めれば良い。 式 (3.5) および全分散 $\sigma_T^2$ はしきい値$k$ に依存しないことか ら、この基準は平均クラス内分散 $\sigma_W^2(k)$ を最小にすることと等価になる。 これは、また、２値化して得られる画像ともとの画像の平均２乗誤差を最小とするこ ととも等価になる[126,127]。