統計量と平均２乗誤差

次に、カラー画像の BTC アルゴリズムに関連するブロック内での統計量について考 察する。

ブロック内の色ベクトルの平均ベクトルおよび共分散行列は、それぞれ、式 （6.1）および式（6.2）のようになる。また、ブロック内の各 画素が２つのクラスに分類された後の各クラスの平均ベクトルは、式 （6.7）および式（6.8）のようになる。このとき、これ らの平均ベクトル間には関係

$$\bar{\mbox{\boldmath$x$}} = \frac{q}{m} \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_0 + \frac{m-q}{m} \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_1$$ (288)

が常に成り立つことが知られている。

平均クラス内共分散行列および平均クラス間共分散行列は、それぞれ、

$$\Sigma_W = \frac{q}{m} \left\{ \frac{1}{q} \sum_{i \in C_0} (\mbox{\boldmath... ...oldmath$x$}}_1)(\mbox{\boldmath$x$}_i - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_1)^T \right\}$$

$$\Sigma_B = \frac{q}{m} (\bar{\mbox{\boldmath$x$}}_0 - \bar{\mbox{\boldmath$x... ...mbox{\boldmath$x$}})(\bar{\mbox{\boldmath$x$}}_1 - \bar{\mbox{\boldmath$x$}})^T$$ (289)

となる。これらの共分散行列に関しても、関係

$$\Sigma = \Sigma_W + \Sigma_B$$ (290)

が常に成り立つ。

これらの統計量を用いると、復元されたブロックの色の平均ベクトルは、

$$\bar{\mbox{\boldmath$x$}}_q = \frac{1}{m} \left\{ q \bar{\m... ...\mbox{\boldmath$x$}}_1 \right\} = \bar{\mbox{\boldmath$x$}}$$ (291)

となる。これは、平均色がカラー画像の BTC による符号化の前と後で等しいことを 意味する。一方、復元されたブロックの共分散行列は、

$$\Sigma_q = \frac{1}{m} \left\{ q (\bar{\mbox{\boldmath$x$... ...$x$}}_1 - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_q)^T \right\} = \Sigma_B$$ (292)

となる。これは、共分散行列がカラー画像の BTC による符号化により減少し、各画 素を２つのクラスに分類したときの平均クラス間共分散行列と等しくなることを示し ている。

また、符号化の前と後の平均２乗誤差は、

$$\varepsilon^2 = \frac{1}{m} \left\{ \sum_{i \in C_0} \vert\vert\mbox{\boldmath$x$... ...rt\vert\mbox{\boldmath$x$}_i - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_1\vert\vert^2 \right\}$$

$$= tr(\Sigma) (1 - \eta^2)$$ (293)

となる。ただし、

$$\eta^2 = \frac{tr(\Sigma_B)}{tr(\Sigma)}$$ (294)

である。