勾配法によるオプティカルフローの推定

動画像から対象の動きのパラメータを時空間微分から推定するための方法とし て勾配法がある。この方法では、``物体上の点の明るさは移動後も変化しない'' という仮定から時空間微分とオプティカルフローとの関係式を導出し、それを 利用して対象の動きを推定する。

今、時刻 $t$ における画像上の点 $\mbox{\boldmath$r$} = (x,y)$ の輝度値を $I(x,y,t)$ とし、微小時間 $\Delta t$ 後に対象が $\mbox{\boldmath$u$} = (\Delta x, \Delta y)^T$ だけ移動したとする。このとき、点の明るさが移動後も変わらないとすると、

$$I(x,y,t) = I(x + \Delta x, y + \Delta y, t + \Delta t)$$ (18)

が成り立つ。今、右辺を Taylor 展開すると、

$$I(x,y,t) = I(x,y,t) + \Delta x \frac{\partial I}{\partial... ...{\partial y} + \Delta t \frac{\partial I}{\partial t} + e$$ (19)

となる。ここで、$e$ は、$\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta t$ に関する高 次の項であるが、これを無視し、両辺を $\Delta t$ で割り、 $\Delta t \rightarrow 0$ とすると、

$$(\nabla I)^T \mbox{\boldmath$u$} + I_t = 0$$ (20)

という関係式が得られる。ただし、 $\nabla I = (\frac{\partial I}{\partial x}, \frac{\partial I}{\partial y})^T$ および $I_t = \frac{\partial I}{\partial t}$ である。

もし、局所領域内の各点のオプティカルフロー $\mbox{\boldmath$u$}$ が等しいと仮定できるな ら、局所領域内で上記の関係式が最小２乗誤差の意味で最も良く当てはまるよ うな $\mbox{\boldmath$u$}$ を推定すればよい。つまり、局所領域 $R$ で２乗誤差

$$E = \sum_{\mbox{\boldmath$r$} \in R} ((\nabla I)^T \mbox{\boldmath$u$} + I_t )^2$$ (21)

を最小とする $\mbox{\boldmath$u$}$ を重回帰分析を用いて求めればよい。