複素自己回帰モデルのz変換

ここでは、輪郭点列のz変換と複素自己回帰モデルとの関係について考察する。 ただし、各輪郭点 $z_{j}$ とz変換での複素平面上の点との記号の混乱を避けるために、 z変換での複素平面上の点は $\omega$ で表わすことにする。

式(7.21) より、各輪郭点は

$$z_{j} = \sum_{k=1}^{m}a_{k}z_{j-k} + \epsilon^f_j$$ (321)

と表わせる。今、輪郭点 $z_{j}$ および 予測誤差 $\epsilon^f_j$ のz変換をそれぞれ $Z(\omega)$ および $E^f(\omega)$ で表すとすると、式(7.26)のz変換は

$$Z(\omega) = \sum_{k=1}^{m}a_{k}Z(\omega)\omega^{-k} + E^f(\omega)$$ (322)

となる。従って、輪郭点列のz変換は、

$$Z(\omega) = \frac{E^f(\omega)}{1 - \sum_{k=1}^{m}a_{k}\omega^{-k}}$$ (323)

で表わされる。

もし、予測誤差 $\epsilon^f_j$ を白色雑音と見なすことができれば、輪郭点 列のスペクトル包絡は

$$\vert\tilde{Z}(\omega)\vert^{2} = \frac{\varepsilon^{2}} ... ...{k=1}^{m}a_{k}\omega^{-k}\vert^{2}}, \ \omega=e^{i2 \pi l/N}$$ (324)

と近似できる。