類似度に基づく主観特徴空間の構成

次に、画像間の類似度が数値で与えられている場合について考察する。学習用画像集 合 $G=\{g_i\vert i=1,\ldots,N\}$ に対して、その画像集合に含まれる任意の二つの画像 間の類似度が数値で与えられているとする。その類似度に基づいてGF空間からSF空間 への線形写像を構成することを考える。学習用画像集合 $G$ 内の画像 $g_i$ と $g_j$ の類似度を $e_{ij}$, $(e_{ij} = e_{ji},\ 0 \le e_{ij} \le 1,\ e_{ii}=1,i,j=1,\ldots,N)$ とし、$e_{ij}$ を要素とする行列を $E$ と書くことに する。

グループ分けに基づく場合と同様に、線形写像

$$\mbox{\boldmath$y$} = A^T(\mbox{\boldmath$x$} - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T)$$ (405)

により写された空間において、利用者が与えた類似度をなるべく反映するような変換 行列 $A$ を求める。SF空間で主観的類似度がどれくらい反映されてい るかの評価として、$G$ 内の画像 $g_i$ および $g_j$ のSF空間での表現 $\mbox{\boldmath$y$}_i$ および $\mbox{\boldmath$y$}_j$ の内積

$$s_{ij} = \mbox{\boldmath$y$}_i^T \mbox{\boldmath$y$}_j$$ (406)

と利用者が与えた類似度 $e_{ij}$ との積の期待値

$$Q = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N e_{ij} s_{ij}$$ (407)

を考える。この時、GF空間から（9.7）式によって写されるSF空間は、 利用者の画像間の類似度に関する主観をある程度反映した空間であるといえる。ある 正規化条件を課すと、最適な係数行列 $A$ は、固有値問題

$$\Sigma_E A = \Sigma_X A \Lambda$$ (408)

$$A^T \Sigma_X A = \Lambda$$

の解として求まる。ただし、

$$\Sigma_E = [X - \mbox{\boldmath$1$} \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T^T]^T E [X - \mbox{\boldmath$1$} \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T^T]$$ (409)

$$\Sigma_X = [X - \mbox{\boldmath$1$} \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T^T]^T[X - \mbox{\boldmath$1$} \bar{\mbox{\boldmath$x$}}_T^T]$$

$$X^T = [\mbox{\boldmath$x$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$x$}_N]$$

$$\mbox{\boldmath$1$} = (1,\ldots,1)^T$$

である。

ここでも、より低次元のSF空間を構成するためには、固有値の大きさの順に対応する 固有ベクトルを適当にいくつか取って変換行列 $A$ とすればよい。グループ分けによ る場合と同様に、次元の決定の目安には累積寄与率が使える。

以上により、任意の対象画像に対してその画像特徴ベクトルが得られれば変換行列 $A$ を用いて、（9.7）式からSF空間での表現を求めることができる。