オイラー法

今日の演習

1階常微分方程式の数値解法（オイラー法）

今日の目標

1階常微分方程式を解く方法を知る

常微分方程式の数値解法

次のような常微分方程式の初期値問題を、オイラー法を用いて数値的に解き、gnuplot を用いて結果をグラフにしてもらいます．オイラー法に関しては、課題として予習してもらいましたので、ここでの内容はその復習となっています．（多少、記号の書き方が違うかもしれません．）

次の初期値問題を考えます．

(1) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array} $\frac{d}{dt}y = f(t,y)$ \\ $y(0)=a$ \end{array}\right. \end{equation*}$

求めたいのは、 $t>0$ の範囲の関数 $y(t)$ であり、関数 $f(t, y)$ および定数 $a$ は与えられているとします．
また、 $f(t, y)$ の値は $t, y$ が与えられればいつでも計算できるものとします．
（プログラム中では関数として定義するとよい．）

コンピューターでは数値を離散的に（とびとびに）しか扱うことができません．
そこで、（１）式をコンピューターで扱えるようにする必要があります．
（１）をコンピュータで解く方法には色々とありますが、この演習では代表的なオイラー法（とルンゲ・クッタ法）を用います．
その前に、準備として差分商について説明します．

差分商

$f(x)$ を $x$ の関数としたとき、 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数は

(2) $\begin{equation*} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} \{ f(a+h)-f(a) \} \end{equation*}$

で定義されます．ここで、定義中の極限操作を取り払い、 $h$ を有限にとどめた

(3) $\begin{equation*} D =\frac{1}{h} \{ f(a+h)-f(a) \} \end{equation*}$

を考えると、h を十分小さな正の実数にとれば、（３）式は（２）式の近似となっていると考えられます．
この D のように、関数のいくつかの点における値の差を用いて、その関数の微分係数を近似することを差分近似といい、（３）式の右辺のような量を差分商といいます．
いまの場合は１階微分係数を近似する１階差分商です．

では、このような差分商を用いて（１）式を離散化してみましょう．
まず、（１）式の第一式の微分係数を上記の差分商で置き換えてみます．

(4) $\begin{equation*} \frac{1}{h} \{ y(t+h)-y(t) \} = f(t, y(t)) \end{equation*}$

ただし、 $h$ は正の数とします．
（４）式と（１）式の第一式は異なる方程式なので、（１）式の第一式の解 $y(t)$ は一般に（４）式を満たしません．
そこで、混乱を防ぐために（４）式の $y(t)$ を $Y(t)$ と書き換えましょう．

(5) $\begin{equation*} \frac{1}{h} \{ Y(t+h)-Y(t) \} = f(t, Y(t)) \end{equation*}$

（５）式のように差分を含む方程式を差分方程式といいます．

　次に、（１）式の $y$ を $Y$ に置き換えた初期条件

(6) $\begin{equation*} Y(0)=a \end{equation*}$

の下で（５）式を解くことを考えます．（５）式は、

(7) $\begin{equation*} Y(t+h) = Y(t) + hf(t, Y(t)) \end{equation*}$

と変形できるので、 $t=0$ を代入すると、

(8) $\begin{equation*} Y(h) = Y(0) + hf(0, Y(0)) = a + hf(0, a) \end{equation*}$

となり、 $Y(0)$ から直ちに $Y(h)$ が求まります（注意： $Y(0)$ は初期条件として与えられているので既知）．
同様にして（７）式を繰り返し用いると、

(9) $\begin{eqnarray*} Y(2h) &=& Y(h) + hf(h, Y(h)) \\ Y(3h) &=& Y(2h) + hf(2h, Y(2h)) \\ Y(4h) &=& Y(3h) + hf(3h, Y(3h)) \\ \cdots \end{eqnarray*}$

というように、 $j=1,2,3,\cdots$ とすると $Y((j+1)h)$ を $Y(jh)$ から計算できることがわかります．

$h$ をいったん決めると、 $t=jh$ 以外の時刻の $Y$ の値は（７）式からは求めることができません．
このように、差分方程式を解くと従属変数はとびとびの時刻で値が定まります．そのようなとびとびの時刻を格子点と呼びます．
$Y$ は格子点でのみ意味があるので、そのことを明示するために $Y(jh)$ を $Y_j$ と書き換え、 $t_j = jh$ とすると、（５）式と初期条件は、

(10) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array} $\frac{1}{h}\{ Y_{j+1} - Y_j\} = f(t_j,Y_j)$ \\ $Y_0=a$ \end{array}\right. \end{equation*}$

となり、結局（１）式の常微分方程式の初期値問題が、 $Y_j$ に関する漸化式の問題（１０）式に置き換えられました．この方法をオイラー法と呼びます．

オイラー法のアルゴリズム

解を求める時刻の上限を T (下限は 0 )とし、適当な自然数 N (格子点の数) を定めて h=T/(N-1) とする
（N…時間刻み数、h…時間刻み幅）．

T, h, a, t（時刻）,Y（ある時刻での値）, Y_new（次の時刻での値）及び関数 f は実数型(floatよりもdouble推奨)

N, j は整数型(int)

.(10)式の Yj, Yj+1, Yj+2, … を、「Yj の値から Yj+1 を求める。」、「次に Yj+1 の値から Yj+2 を求める。」、「次に…。」… と求める代りに、,Y（ある時刻での値）, Y_new（次の時刻での値）を使って

「Y から Y_new を求める。(例えば Y が Yj に, Y_new が Yj+1 に対応)」、「Y を Y_new で置き換える。」、
「Y から Y_new を求める。(今度は Y が Yj+1 に, Y_new が Yj+2 に対応)」、「Y を Y_new で置き換える。」、…、
という繰り返しで求める.

（例１）

Y の初期値 a を設定 (#define 文)

時刻の上限 T（下限は 0 ）, 時間刻み数(格子点数) N を設定(#define 文)

時間刻み幅 h = T/(N-1) を設定(#define 文)

（ここから計算開始）

初期値を与える Y = a

初期時刻(t = 0)と初期値 a を画面に表示（printf関数）

各格子点での値を j = 0,1,2,.......,N-1 の順に計算 (for 文）

    t = j*h

    Y_new = Y + h*f(t, Y)

    （一定間隔毎に）t+h と Y_new の値を画面に表示（printf関数）

    次の時刻の計算のため、Y を新しく求まった値（Y_new）で置き換え

    Y = Y_new

以上を繰り返す

f(t, Y) は関数として定義するとよい．

ただし，#defineを使ってしまうと，aの値の入力をキーボードから受けてとることができない．

その場合は，aをdefineせずにscanfを用いて指定する。

また，上のプログラムは「時刻の上限Tを明示的に指定しているが，時間刻み幅hはT/(N-1)により間接的に与えている」．

hは計算の精度に直結するので，hを直接指定したい場合もあるだろう．

その場合は，「時刻の上限TはT*hと間接的に指定しているが，時間刻み幅hは直接値を指定する」

ということになる．どちらも一長一短であるので，好きに使い分けると良い．（アルゴリズムとしては同等である）

後者の記法で，なおかつ初期値をキーボードから受け取る例を下に示す．

（例２）

時刻の下限を0 , 時間刻み数(格子点数) N を設定(#define)．

時間刻み幅 h を指定(陽に0.01などと指定する）(#define)

（ここから計算開始）

aの入力を促す

初期値を与える Y = a

初期時刻(t = 0)と初期値 a を画面に表示（printf関数）

各格子点での値を j = 0,1,2,.......,N-1 の順に計算 (for 文）

    t = j*h

    Y_new = Y + h*f(t, Y)

    （一定間隔毎に）t+h と Y_new の値を画面に表示（printf関数）

    次の時刻の計算のため、Y を新しく求まった値（Y_new）で置き換え

    Y = Y_new

以上を繰り返す

f(t, Y) は関数として定義するとよい．

（一定時間毎に）とあるのは，例えば j が100毎に、等という意味である．つまり，

if (j % 100 == 0)
{
    printf("%lf %lf\n", t+h, Y_new);
}

というふうにする (a % b = [a を b で割った時の余り])．これだと作成されるデータファイルの容量は1/100となる．
これは，前々回で見たように、グラフはある程度の折れ線数であれば十分なめらかに見えるので，グラフを描く為のデータとして巨大になりすぎることを防ぐ為である．
ここで100という数値は適当に与えた物であって，グラフが十分なめらかに見えかつデータ数が小さくなるような適当な値を探す必要がある．

課題１

常微分方程式の初期値問題

$\frac{dy}{dt} = -y + 3\exp(-t), y(0) = 1$

を解け．

オイラー法を用いて時刻 0≦ t ≦20 の範囲での解を求めるプログラムを作成せよ．
時刻 0≦ t ≦20 の範囲を20000等分割して(N = 20000)、100ステップ毎に printf関数により、t および y の値を表示し，それを gnuplot でグラフ化せよ．
また手計算にて解を求め、数値計算結果が正しいか確認せよ．

課題２

次の常微分方程式の初期値問題をオイラー法を用いて解いて、 $t$ と $y$ の関係を gnuplot でグラフ化せよ．

(1) $\frac{dy}{dt} = 10.0 -10t$ (時刻 0≦ t ≦2 の範囲を20000等分割、100ステップ毎に値を表示)

(2) $\frac{dy}{dt} = -y + sin(t), y(0) = 1$ (時刻 0≦ t ≦20 の範囲を20000等分割、100ステップ毎に値を表示)

(3) $\frac{dy}{dt} =2\frac{y}{t+1}, y(0) = 1$ (時刻 0≦ t ≦10 の範囲を10000等分割、100ステップ毎に値を表示)

(4) $\frac{dy}{dt} = y-2y^3, y(0) = 0.1$ もしくは　y(0) = -0.1　(時刻 0≦ t ≦20 の範囲で時間刻み幅h=0.001、100ステップ毎に値を表示)

今日学んだ事

オイラー法による常微分方程式に数値解法