計算数理A演習第9回 – Masashi Shiraishi Homepage

今日の演習

フーリエ級数

フーリエ級数

周期関数 $u(t)$ が「（第一種不連続点のみをもつ）区分的に連続な周期関数」であるとき、フーリエ級数は元の関数u(t)に各点収束する。
よって、 $u(t)$ を $2\pi$ 周期の関数とすると、

$u(t) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nt + b_n \sin nt )$

$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) dt, a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \cos nt dt, b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(t) \sin nt dt$

がなりたつ。

無限級数をとったとき、フーリエ級数が元の関数に収束することは数学的に証明されている。
では、無限に足し合わせるのではなくて、有限個だけ足し合わせた場合は、どのような曲線が得られるだろうか？
今回の演習では、足し合わせる項の数を増やして行ったときに、どのようにもとの関数 $u(t)$ に収束して行くのかを
シミュレーションを通して理解して行く事を目的とする。

また、 $u(t)$ が不連続面を含む場合において、「滑らかな三角関数だけを足し合わせて、不連続な関数を近似する」という一見無茶なことをどのように実現しているのかを確認してもらいたい。

課題1（ジグザグ波）

$u(t) = |t|$ on $[-\pi, \pi]$

を周期 $2\pi$ の関数として拡張したものを考える。
この関数のフーリエ級数展開は、

$u(t) = \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n:odd} \frac{1}{n^2} \cos nt$

となる。ただし、n:oddとは $n$ が奇数であること(つまり $n=1, 3, 5, \cdots$ について和をとること）を表している。
ここで、足し合わせる $n$ の最大値を $N$ として、

$u_N(t) = \frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{n:odd}^N \frac{1}{n^2} \cos nt$

とおき、 $N=1, 3, 5, \cdots$ の場合における、 $u_N(t)$ のグラフを図示せよ。
その際、 $u(t)$ のグラフも重ねて描画すること。
ただし、描画する $t$ の範囲は $-2\pi$ から $2\pi$ とせよ。
（ $N$ が大きいときについて： $\cos Nt$ がそこそこまともに描画できる程度に、 $t$ の刻み幅を小さくすることを意識してください）