複素パワーケプストラム距離

次に、輪郭点列のスペクトル包絡の対数変換に基づいた距離を考える。 一般に、パワーケプストラムは、時系列データのz変換の絶対値の２乗（パワース ペクトル）の対数の逆z変換として定義される。輪郭点列に複素自己回帰モデル をあてはめた時の予測誤差が白色雑音とみなせる場合には、輪郭点列のパワース ペクトル（スペクトル包絡）は、式 (7.29) で与えられる。

従って、複素パワーケプストラム距離 $Dc(1,2)$ を、 $\mbox{\boldmath$z$}^{(1)}$ と $\mbox{\boldmath$z$}^{(2)}$ のスペクトル包絡の対数の平均２乗距離

$$Dc(1,2) \equiv \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} \vert \ln \{ \frac{\varepsilon^{2}_{1\vert 1}}{(r^{(1)}_{0}/N) \vert A^{(1)} (e^{i2 \pi j/N})\vert^{2} } \}$$

$$- \ln \{ \frac{\varepsilon^{2}_{2\vert 2}} {(r^{(2)}_{0}/N) \vert A^{(2)}(e^{i2 \pi j/N})\vert^{2} } \} \vert^{2}$$ (339)

で定義する。ここで、大きさに対して不変にするために、 $\mbox{\boldmath$z$}^{(n)}$ のスペクトル包絡を $r_{0}^{(n)}/N$ で正規化している。

次に、この距離を求めるための簡便法を示す。 まず、複素自己回帰モデルにおけるスペクトル包絡は 式 (7.29)で表わせるので、式 (7.28)の分母($A(\omega)$)の逆数の対数 ( $\ln (\frac{1}{A(\omega)})$ ) のローラン級数展開を考える。ここで、$1/A(\omega)$ の極が全て単位円内にある 場合には $\ln (1/A(\omega))$ のローラン級数展開は

$$- \ln A(\omega) = \sum_{j=1}^{\infty}f_{j}\omega^{-j}$$ (340)

となる。両辺を $\omega$で微分し、$\omega$を掛けた式を $\omega$ の恒等 式と見なして、 $\omega$ の次数の等しい係数が同じであるとおくと、係数 $\{f_{j}\}_{j=1}^{\infty}$ は次の漸化式を満たすものとして求まる。

$$f_{j} = a_{j} + \sum_{k=1}^{j-1}(1-\frac{k}{j})f_{j-k}a_{k}$$ (341)

ただし、

$$a_{k} = 0 : k > m$$ (342)

である。従って、スペクトル包絡の対数は、 $\omega = e^{i2 \pi l/N}$ のとき

$$\ln (\frac{\varepsilon^{2} }{ \vert A(\omega)\vert^{2}} ) = \sum_{j=-\infty}^{\infty}g_{j}\omega^{-j}$$ (343)

$$g_{j} \equiv \left\{ \begin{array}{ll} \ln \varepsilon^{... ...f_{j} & j > 0 \\ \bar{f}_{-j} & j < 0 \end{array} \right.$$ (344)

で与えられる。ここで、係数 $\{g_{j}\}_{j=-\infty}^{\infty}$ を複素パワーケプ ストラム係数と呼ぶことにする。これは実自己回帰モデルにおける線形予測分析(Linear Predictive Coding, LPC) パワーケプストラム係数[11]を複素自己回帰モデルに 拡張したものとなっている。

今、二つの輪郭点列 $\mbox{\boldmath$z$}^{(n)} \in C^{N}, (n \in \{1,2\})$ に複素自己回 帰モデルをあてはめて得られる複素自己回帰係数 $\mbox{\boldmath$a$}^{(n)}$ から、 式(7.46)および(7.49)により計算される複素パワーケプストラ ム係数が $\{g_{j}^{(n)}\}_{j=-\infty}^{\infty}$ で与えられているとする。 このとき、複素パワーケプストラム距離 $Dc(1,2)$は、各輪郭点列の複素パワー ケプストラム係数から、

$$Dc(1,2) = \vert \frac{g^{(1)}_0 }{(r^{(1)}_{0}/N)} - \fra... ...2} + 2 \sum_{j=1}^{N-1} \vert g^{(1)}_j - g^{(2)}_j \vert^{2}$$ (345)

によって計算できる。

この距離は、実自己回帰モデルにおけるLPCパワーケプストラム距離を、複素 自己回帰モデルに拡張したものとなっている。