| 6/12 : | スライド(6.12)29ページ, 定理1.3の証明(2)まで. |
| 6/14 : | スライド35ページ定理1.5 まで(証明は(P1),(P2),(P3')まで) |
| 6/19 : | スライド(6/19配布)の8ページまで. (ベイズの公式の証明し, 標本空間の分割が有限個の場合も説明した） |
| 6/21 : | 確率変数の定義と, その必要十分条件(定理2.1)の証明まで。 |
| 6/26 : | 定理2.6 まで |
| 6/28 : | 定理2.8 の証明の途中 |
| 7/3 : | スライド(6/28配布)の最後 (定理2.11 まで） |
| 7/5 : | 中間試験(60分)と試験問題の解説(問題5(1) まで (2) は次回) |
| 7/10 : | 中間試験問題5(2)の解答, スライド(7/3配布)27ページ, 定理3.2（連続型）の証明まで |
| 7/12 : | スライド(7/19 配布予定)14ページ, 定理3.9 まで |
| 7/19 : | 3.4節の最後, スライド(7/19配布)の最後まで. (条件付き分布と条件付き平均の定義、例） |
| 7/24 : | スライド(7/24配布)17ページ, 例4.3 まで. |
| 7/26 : | スライド(7/24配布)の最後まで. 、一意性定理と分布族の再生成. 傾向と対策の問題例の解説(1)-(6) 傾向と対策, 傾向と対策その２, 昨年度の予備試験問題を配布 |
| 7/31 : | 傾向と対策２を解説した。（問題2(1)まで) |
| 8/2 : | 予備試験 |
| 8/7 : | 期末試験 |
| Q: | [0,2π) の全ての部分集合に確率を定義しようとすると破綻するのはなぜですか。 |
| A: | もう少し詳しく言うと, 部分集合 A の確率と, A を回転させた集合の確率が等しいような確率を定義しようとすると, 確率の公理（定義1.2）が成り立たなくなります。授業で説明しようとすると結構時間がかかるので，このpdfファイルを見てください。ルベーグ可測でない集合の例として, よく用いられます. |
| Q: | 定理1.3,連続性の証明で上極限集合と下極限集合の性質として，上極限と下極限が一致しなければはさみうちは使えないのではないでしょうか。先生はそれぞれ存在するとだけおっしゃっていましたが。 |
| A: | 説明が悪かったようです。上極限集合と下極限集合が一致するというのが前提で，どちらの確率も P(An) の極限値として表されるので, はさみうちが使えます。 |
| Q: | 外測度, 拡張定理がよく分からなかった. (/td>
|
| A: | 解析学A，あるいは測度論本で外測度を使ってルベーグ測度を定義する方法を勉強したら，区間の長さの代わりにスライド(6/12配布)41ページのように区間上の定積分に置き換えることによって，ユークリッド空間上の確率測度が定義できることがわかると思います。興味がある人は「カラテオドリの拡張定理」，「ホップの拡張定理」などを調べてみてください。ホップの拡張定理に定理と, 定理の仮定が成り立たない（拡張できない）例を書いています。 |
| Q: | 有限加法性と完全加法性の関係を教えてください. |
| A: | 確率の公理（スライド6/12,24ページ）を満たすならば，定理1.2(26ページ)で証明したように，有限加法性を満たします。
標本空間Ωの集合体 B 上で定義された，有限加法的確率（確率の公理で，完全加法性を有限加法性に置き換えたもの）が，完全加法性を満たすとは限りません。ただし，B がσ-集合体でない場合には，加算個のBの要素の和集合が B に属するとは限らないので, 「互いに素な B の加算個の要素を選んだ時に, その和集合が B に属しても，完全加法性が成り立たない場合があるか」という問題になります。そのような例をつくることはできます。
Bがσ-集合体であるけれど，完全加法性を満たさない有限加法的確率があるかどうかは，分かりません。
標本空間Ωが有限集合のときは，その集合体も有限個の要素しか持たず，したがって，互いに素な B の要素を無限に取ると，有限個を除き，すべて空集合となるため，有限加法性から加算加法性が示せます。
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| Q: | 6/12 の授業で定理 1.5 の (P3') を示したのは何故ですか。 |
| A: | テキストの証明のように，(P3')を用いて，(P3) を証明する予定でした。方針変更して (P3) を定義関数で証明したため，(P3')を証明する必要はありませんでした。 |
| Q: | ランダムネスの数学的定式化はなんですか。 |
| A: | 「完備性」とは何ですか，という質問と同じようにどういう分野で何をテーマにするか決めないと，答えようがありません。例えば, 0 以上 9 以下の整数列がランダムであるかどうかという質問なら，「乱数列」のいろいろな定式化があるようです。
確率変数は英語では random variable と言って，ランダムな値を取る変数という意味ですが，確率変数は講義で定義した通りです。「ランダムサンプリング」は日本語では「無作為抽出」といいますが，定式化は確率・統計Bで説明します。 |
| Q: | 確率過程は講義でやりますか。 |
| A: | 扱うとすれば確率・統計Cですが，今年のシラバスを見ると扱わないようです。卒研でテーマとして選ぶなら井上先生，岩田先生が専門家です。 |
| Q: | 定理2.1 の (1)=>(2) がわかりません. |
| A: | このような証明(pdfファイル)です. |
| Q: | |
| A: | |