Modified : 10/02/13 13:50
お知らせ
- レポートを返却しますので、数学事務室の返却ボックスから各自受け取ってください。
表紙に、赤で「ＯＫ」と書いてあるものは、再提出の必要はありませんが、加筆・修正しているものもあるので確認し、その意味が分からなければ質問に来てください。
表紙に赤で「再 4(2),6(4)] などと書いてあるものは、記載のある問題の解答が不十分なので、再提出してください。
提出締め切りは、7月31日(火)です。
- 7/17 は月曜日分の授業をする日なので, 次回講義は7/24(火)です。
- 7/10. 中間試験の答案を返却しました.
部分点の合計が違う, 減点の理由が分からないなど, 採点に疑問があれば遠慮なく聞いてください.
証明や計算過程でどのような定理を使ったかなど, 説明が足りないところで減点しています.
問題６(2) で k>0 とすべきだったのが抜けていたので, 90点満点として採点しました. 問題６(2) も k の範囲を場合分けするなどして, 成り立つかどうか部分的にでも書いてあるものは, 加点しています. 中間試験の得点が, ６割の54点に満たない人は, レポートを提出してください. 詳細は, お知らせの次にあります.
- 練習問題の, 11,12,13,14 を12/18 12:24 に修正しました.
- 中間試験情報を掲載しました.
-
演習のページへのリンクを張りました。
- 「確率・統計の数学的基礎 (藤越,若木,蛹ｴ著)」というテキストを使用します. 生協で購入できます.
- 課題：中間試験で満点でなかった小問の完全な解答をA4の用紙に作成して提出すること.
表紙に, 学生番号, 氏名, 提出日時, 中間試験で満点でなかった問題番号(問題1, 問題6(3)...）を書き, ホッチキスで閉じてください.
各小問とも 10 点満点です.
- 提出締め切り：７月17日(火)
- 提出場所：数学事務室カウンター前のボックス
- 中間試験問題(pdfファイル), 問題６(2)も修正済み
- 日時：６月１９日3.4 時限
- 場所：いつもの講義室
- 試験範囲：テキスト第１章, 第２章, 第３章の3.3節まで
- 試験内容：「定義を理解できているか」, 「基本的な性質を定義か証明できるか」,
「定理を応用できるか」を問う問題を出題します. 以下の問題は, 基礎の確認のためで, そこから選んでそのまま出題するのではありません.
- 定義等を確認する問題(txtファイル)
- 練習問題（pdfファイル, 定義の確認, 基本性質の証明など）12/18 12:24 に修正しました.
自分で解いてみないと勉強にならないし, 解答を見ないと自分の解答が合っているかどうか分からないのは、理解できていないことと同じなので, 解答は作成しません. 質問は歓迎しますので, 講義の後や, 演習のときの空いた時間, あるいは直接研究室(C810)に来て質問してください. 演習の永井先生や, C622の学生相談室でも質問に答えてくれると思います。
- その他
確率・統計A演習(演習のページ)で配布している演習問題や小テストの問題, テキストの例題や演習問題なども解いてみると勉強になります. 定理の簡単な証明も自力でできるようにしておくと良いです.
１ページに３or４スライド
演習のページ
-
Q :
が独立であったら, )=\varphi_{X_1+X_2}(t))
ですか？
A : 違います. が独立であったら, =\varphi_{X_1}(t)\varphi_{X_2}(t))
です.
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Q : 7/24配布資料14ページの, 「同時分布の特性関数が周辺分布の特性関数の積ならば確率変数は独立」の証明がよくわかりませんでした.
A : 厳密な証明をするなら, 14ページに書いたような
がちゃんと存在することを示す必要があります. 詳しい証明(pdfファイル) を見てください.
-
Q:
を確率変数とするとき, \leq\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Y,Z)
は成立しますか.
A:成立するとは限りません. 
が独立として, 反例を考えてみてください.
-
Q:
]=\mathrm{E}(X))
は平均の平均を取るため, 結局平均となるという解釈で良いですか.
A: )
は定数であり, 定数(定数関数)は平均を取っても変わらないということです.
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Q:質問の更新はいつ頃行われますか.
A:できれば週末までと思っていますが, 忙しいと次の講義の直前になります. 全ての質問の解答をアップしないので, そのような場合は直接聞いてください.
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Q:相関係数は直線的関連の尺度とありましたが, 直線的でない関連の度合いをどう測るのですか.
A: 例えば, Y を X の多項式で表すときにどれくらいうまく近似できるかというような尺度（多項式回帰での決定係数）や, 離散型確率変数同士の関連の尺度として, ファイ係数など, いろいろな尺度が提案されています.
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Q:正規分布がよく整備されているのはやはり見易さにあるんでしょうか。
A:生物学的な量の分布によく当てはまること、誤差の分布として理論的に導出されること、独立な確率変数の和やその関数の分布の近似として用いられること（中心極限定理）、周辺分布も正規分布になること、再生性（確率・統計Bの内容）、その他いろいろな理由があります。
-
Q: 定理2.8の証明で
となっているが？
A:
と書いたつもりですが, 等号がくっついてマイナスに見えたのだと思います。
-
Q: 分布関数の左連続性は？
A: 左連続ではありません。例(1/2)で、x = 0,1,2 のところを見てください。
-
Q:定理2.4 の(F2)の証明で (F1)がどう使われるのかわかりません。
A:解析学1 の内容なので、もう少し自分で考えて、わからなかったら質問に来てください。
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Q: 定理2.1 の
の表すものが何かよく分からなかった.
A: ボレル集合体の定義で出てきたもので (a, b] の形の区間の全体からなる集合族です。
-
Q: ベイズ定理で有限個(n個)に分割する場合の証明をするときに, 勝手に (n+1)番目以降の事象を
としてもいいのでしょうか.
A: 可算無限個の場合の定理が, \neq 0)
と仮定しているので, )
とおくのは論理的に間違いです. 「無限個の場合の証明と同じように証明できる」と言うべきですね. ベイズの定理の証明ででてきた∞の記号を n で置き換えればよいです. 確率の定義の可算加法性を用いて, 有限加法性を証明するような場合には, 可算加法性の条件に 各事象がでないという条件は含まれていないので, 与えられた n個の事象に, (n+1)番目以降としてを追加するのは問題ありません。
-
Q: 積分による確率の定義
)=\int_a^bf(x)dx)
を基に確率を定義するとき, 
に対する確率は・・・
A: 質問してくれた考え方で良いですが, 確率の定義を満たすように拡張されることが証明されているので, )
に対して確率の連続性を用いると, =\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^{n}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx)
で良いです.
-
Q:
)
のところが良く分かりません.
A: 間違っていました. 
のとき
, 
のとき
と定義したかったのですが, 上の定義ではそうはなりませんね. すべての部分集合に確率を定めることが困難な例に興味のある人は
(ルベーグ可測でない集合の例でもある)を見てください.
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Q:上極限集合、下極限集合の具体例として
を観測開始日から
日目に雨が降るという事象とすると、上極限集合は任意の日に雨が降る、下極限集合はある日から先すべての日に対して雨が降ることとイメージしたのですが、ただしですか。
A:下極限集合は良いですが、上極限集合は、「開始日から何日経過したとしても、それ以降に少なくとも１回は雨が降る」ということを表しています。
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Q: σ集合体の定義に (B1)
とあるのに、なぜ
は定理なのかがよくわからない。
A: は定義から証明される性質だからです。テキストによっては、(B1),(B2),(B3)の代わりに (B1)':,(B2),(B3)を定義として書いてあるものもあります。その場合には、(B1)の方が定理として証明されることになります。
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Q: コインを無限回投げる試行で、「n回目までに表がでる割合が0.4以上0.6以下・・・」の例が良く分からなかった。
A: 「大数の法則のような極限定理を扱うためには、事象列の極限の確率を定義する必要があり、そのために(B3)の条件がσ集合体の定義に含まれている」ということが言いたかったのですが、大数の法則どころか、確率の定義もしていない段階で、例として出すのは早すぎました。確率変数の定義を説明した後ぐらいに、また、説明します。